ہوائی جہاز خمدار راستے پر کیوں اڑتے دکھائی دیتے ہیں؟

نقشے پر کسی لمبی پرواز کا راستہ تقریباً کبھی سیدھی لکیر کی صورت میں نظر نہیں آتا، بلکہ ایک قوس کی صورت میں دکھائی دیتا ہے۔ یہ چکر لگتا ہے، لیکن یہی مختصر ترین راستہ ہے۔

اسے جانچنے کے لیے ایک گلوب اور ایک دھاگا کافی ہے۔ دھاگے کا ایک سرا لندن پر اور دوسرا نیویارک پر رکھ کر اسے کَس دیں: یہ عرضِ بلد کی لکیر کے ساتھ مغرب کی طرف نہیں جاتا، بلکہ بحرِ اوقیانوس کے اوپر چڑھتا ہے، گرین لینڈ کے قریب سے گزرتا ہے اور پھر نیچے اترتا ہے۔ ہوائی جہاز بالکل یہی راستہ طے کرتے ہیں۔ اس راستے کو عظیم دائرہ (گریٹ سرکل) کہتے ہیں، اور یہ وہ کنارہ ہے جو گلوب کو اس کے مرکز سے دو حصوں میں کاٹنے پر نظر آتا ہے۔ کرے پر یہی ممکنہ طور پر سیدھی ترین لکیر ہے۔

مسئلہ تب پیدا ہوتا ہے جب کرے کو ہموار سطح پر اتارا جائے، جیسا کہ زیادہ تر نقشوں میں ہوتا ہے: تناسب بگڑ جاتے ہیں۔ خطِ استوا کے قریب ہموار نقشہ کرے سے تقریباً ایک جیسا ہوتا ہے، لیکن قطبین کی طرف جتنا بڑھیں، یہ اتنا ہی کھنچتا جاتا ہے۔ سب سے عام نقشے میں گرین لینڈ تقریباً افریقہ جتنا بڑا دکھائی دیتا ہے، حالانکہ افریقہ اصل میں اس سے تقریباً چودہ گنا بڑا ہے۔

اسی لیے ہموار سطح پر کھینچا گیا پرواز کا راستہ خطِ استوا سے جتنا دور گزرتا ہے، اتنا ہی زیادہ خمدار نظر آتا ہے۔ لندن–نیویارک ایک واضح قوس بناتا ہے، جبکہ خطِ استوا عبور کرنے والا میڈرڈ–بیونس آئرس تقریباً سیدھا دکھائی دیتا ہے۔

ہیورسائن فارمولا دونوں نقطوں کے محلِ وقوع (کوآرڈینیٹس) سے اس راستے کی لمبائی نکالتا ہے۔

آزمائیں: مارکر گھسیٹیں

نیچے کے دونوں مارکر لندن اور نیویارک سے شروع ہوتے ہیں۔ کسی ایک کو دنیا میں کہیں بھی گھسیٹیں اور فاصلہ خود بخود بدل جاتا ہے۔ ان کے درمیان نیلی لکیر عظیم دائرے کی قوس ہے، یعنی کَسا ہوا دھاگا؛ ہلکی سرمئی لکیر وہ ہے جو ہموار نقشے پر رولر سے کھینچی جاتی۔ جوڑے کو مزید شمال کی طرف لے جائیں تو نیلی لکیر زیادہ خم کھاتی ہے؛ خطِ استوا کی طرف نیچے لائیں تو دونوں لکیریں تقریباً مل جاتی ہیں۔

ہیورسائن فارمولا کیا کرتا ہے، سادہ الفاظ میں

ہیورسائن فارمولا وہ طریقہ ہے جس سے کمپیوٹر بغیر گلوب کے اس دھاگے کو ناپتا ہے۔ یہ ہر جگہ کے دو محلِ وقوع لیتا ہے، عرضِ بلد (خطِ استوا سے کتنا شمال یا جنوب) اور طولِ بلد (گرینچ کے نصف النہار سے کتنا مشرق یا مغرب)، اور دو کام کرتا ہے:

1. یہ معلوم کرتا ہے کہ دونوں نقطوں کو گلوب کا کتنا بڑا حصہ الگ کرتا ہے: زمین کے مرکز سے دیکھنے پر ان کے درمیان کا زاویہ۔ میڈرڈ اور بارسلونا پورے چکر کے 360 میں سے تقریباً ساڑھے چار ڈگری دور ہیں۔
2. یہ زمین کے حجم کی مدد سے اس حصے کو کلومیٹر میں بدلتا ہے۔ سیارے کا پورا چکر تقریباً 40,000 کلومیٹر کا ہے، اس لیے ساڑھے چار ڈگری تقریباً 500 کلومیٹر بنتے ہیں۔

ہنر پہلے مرحلے میں ہے۔ ایک ڈگری طولِ بلد خطِ استوا پر بہت ہوتا ہے، تقریباً 111 کلومیٹر، اور قطبین پر، جہاں سارے نصف النہار ملتے ہیں، سکڑ کر صفر ہو جاتا ہے۔ فارمولا یہ جانتا ہے اور اسے درست کرتا ہے، اسی لیے یہ ناروے کے دو قصبوں کے درمیان اتنا ہی ٹھیک کام کرتا ہے جتنا برازیل کے دو قصبوں کے درمیان۔

عجیب نام ایک پرانے مثلثیاتی فنکشن ہیورسائن سے آیا ہے، جو انیسویں صدی میں ملاحوں کے چھپے ہوئے جدولوں میں ہوتا تھا، کیونکہ اس سے جہاز پر ہاتھ سے بالکل یہی حساب آسان ہو جاتا تھا۔ کمپیوٹر والا روپ وہی خیال ہے، کوڈ کی ایک درجن سطروں میں لکھا ہوا۔

خود حساب کریں

اگر آپ اصل فارمولا دیکھنا چاہتے ہیں، نیویارک–لندن کے حساب کو عدد بہ عدد سمجھنا چاہتے ہیں، ایک چلتا ہوا JavaScript ورژن کاپی کرنا چاہتے ہیں اور جاننا چاہتے ہیں کہ ایسے سیارے پر، جو مکمل کرہ نہیں، یہ کتنا درست ہے، تو ہیورسائن کیلکولیٹر کھولیں۔ اس میں وہی انٹرایکٹو نقشہ ہے، جس میں گھسیٹتے وقت فارمولے کی ہر درمیانی قدر دوبارہ نکلتی ہے۔

کسی بھی دو جگہوں کے درمیان سیدھا فاصلہ، سڑک کا فاصلہ اور اندازاً پرواز کا وقت جاننے کے لیے کیلکولیٹر کھولیں اور دو شہر لکھیں، یا میڈرڈ سے بارسلونا سے شروع کریں۔