مارکر A یا B کو نقشے پر کہیں بھی گھسیٹیں۔ نیلی لکیر گلوب پر مختصر ترین راستہ ہے، سرمئی لکیر ہموار نقشے پر سیدھی لکیر؛ ہلانے پر فاصلہ اور فارمولے کا ہر مرحلہ دوبارہ نکلتا ہے۔
آپ یہاں محلِ وقوع خود بھی لکھ سکتے ہیں۔
نیویارک سے لندن کیلکولیٹر میں کھولیںاوپر کے دو نقطوں کے لیے فارمولا، مرحلہ وار
| مرحلہ | فارمولا | قدر |
|---|---|---|
| A کا عرضِ بلد ریڈین میں | φ₁ = lat(A) · π / 180 | 0.710572 rad |
| B کا عرضِ بلد ریڈین میں | φ₂ = lat(B) · π / 180 | 0.898974 rad |
| عرضِ بلد کا فرق | Δφ = φ₂ − φ₁ | 0.188401 rad |
| طولِ بلد کا فرق | Δλ = λ₂ − λ₁ | 1.289418 rad |
| ہیورسائن جزو | a = sin²(Δφ/2) + cos φ₁ · cos φ₂ · sin²(Δλ/2) | 0.17923643 |
| مرکزی زاویہ | c = 2 · atan2(√a, √(1 − a)) | 0.874309 rad |
| فاصلہ | d = R · c (R = 6,378.137 کلومیٹر) | 5,576.5 کلومیٹر |
کیلکولیٹر میں نیویارک اور لندن لکھنے پر پہلا عدد جو ملتا ہے وہ ہے 5,576 کلومیٹر۔ اس کے لیے کوئی سڑک نہیں دیکھی گئی، کوئی پرواز کا شیڈول نہیں: یہ دونوں شہروں کے مراکز کے درمیان زمین کی سطح پر ممکنہ مختصر ترین راستہ ہے، اور یہ مثلثیات کے ایک چھوٹے سے ٹکڑے سے نکلتا ہے جسے ہیورسائن فارمولا کہتے ہیں۔ یہ مضمون فارمولا پورا لکھتا ہے، نیویارک–لندن کا بالکل یہی حساب قدم بہ قدم کرتا ہے، اور آپ کو نقشے پر دو نقطے گھسیٹ کر ہر مرحلہ براہِ راست بدلتے دیکھنے دیتا ہے۔ اگر آپ پہلے بغیر مساواتوں کے خیال سمجھنا چاہتے ہیں تو سادہ الفاظ والے تعارف سے شروع کریں۔
ہموار نقشے پر رولر کیوں جھوٹ بولتا ہے
نقشے پر کسی لمبی پرواز کا راستہ تقریباً کبھی سیدھی لکیر کی صورت میں نظر نہیں آتا، بلکہ ایک قوس کی صورت میں دکھائی دیتا ہے۔ یہ چکر لگتا ہے، لیکن یہی مختصر ترین راستہ ہے۔
اسے جانچنے کے لیے ایک گلوب اور ایک دھاگا کافی ہے۔ دھاگے کا ایک سرا لندن پر اور دوسرا نیویارک پر رکھ کر اسے کَس دیں: یہ عرضِ بلد کی لکیر کے ساتھ مغرب کی طرف نہیں جاتا، بلکہ بحرِ اوقیانوس کے اوپر چڑھتا ہے، گرین لینڈ کے قریب سے گزرتا ہے اور پھر نیچے اترتا ہے۔ ہوائی جہاز بالکل یہی راستہ طے کرتے ہیں۔ اس راستے کو عظیم دائرہ (گریٹ سرکل) کہتے ہیں، اور یہ وہ کنارہ ہے جو گلوب کو اس کے مرکز سے دو حصوں میں کاٹنے پر نظر آتا ہے۔ کرے پر یہی ممکنہ طور پر سیدھی ترین لکیر ہے۔ کیلکولیٹر دو شہروں کے درمیان جو لکیر کھینچتا ہے، وہ یہی قوس ہے، ہموار نقشے پر اتاری ہوئی۔
مسئلہ تب پیدا ہوتا ہے جب کرے کو ہموار سطح پر اتارا جائے، جیسا کہ زیادہ تر نقشوں میں ہوتا ہے: تناسب بگڑ جاتے ہیں۔ خطِ استوا کے قریب ہموار نقشہ کرے سے تقریباً ایک جیسا ہوتا ہے، لیکن قطبین کی طرف جتنا بڑھیں، یہ اتنا ہی کھنچتا جاتا ہے۔ سب سے عام نقشے میں گرین لینڈ تقریباً افریقہ جتنا بڑا دکھائی دیتا ہے، حالانکہ افریقہ اصل میں اس سے تقریباً چودہ گنا بڑا ہے۔
اسی لیے ہموار سطح پر کھینچا گیا پرواز کا راستہ خطِ استوا سے جتنا دور گزرتا ہے، اتنا ہی زیادہ خمدار نظر آتا ہے۔ لندن–نیویارک ایک واضح قوس بناتا ہے، جبکہ خطِ استوا عبور کرنے والا میڈرڈ–بیونس آئرس تقریباً سیدھا دکھائی دیتا ہے۔
اس لیے درست ناپنے کے لیے ہم نقشے کو ایک طرف رکھ کر خود کرے پر، عرضِ بلد اور طولِ بلد کے ساتھ کام کرتے ہیں۔ ہیورسائن فارمولا یہی کرتا ہے۔
فارمولا
دونوں نقطوں کو A اور B کہتے ہیں۔ ہر ایک کا ایک عرضِ بلد φ (فائی) اور ایک طولِ بلد λ (لیمبڈا) ہے، یعنی وہ دو زاویے جو اسے گلوب پر متعین کرتے ہیں۔ عرضِ بلد بتاتا ہے خطِ استوا سے کتنا شمال یا جنوب؛ طولِ بلد، گرینچ کے نصف النہار سے کتنا مشرق یا مغرب۔
سطر بہ سطر پڑھیں تو:
- Δφ (ڈیلٹا فائی) A اور B کے عرضِ بلد کا فرق ہے، اور Δλ (ڈیلٹا لیمبڈا) طولِ بلد کا فرق۔ دونوں ریڈین میں ہونے چاہییں، ڈگری میں نہیں: ڈگری کو π سے ضرب دے کر 180 پر تقسیم کریں۔
- a مرکزی زاویے کا "ہیورسائن" ہے۔ یہ شمال–جنوب کے فرق اور مشرق–مغرب کے فرق کو ملاتا ہے، اور مشرق–مغرب والے حصے کو دونوں عرضِ بلد کے کوسائن سے ناپتا ہے، کیونکہ قطب کے جتنا قریب ہوں، ایک ڈگری طولِ بلد اتنا ہی چھوٹا ہوتا ہے (خطِ استوا پر ایک ڈگری طولِ بلد تقریباً 111 کلومیٹر ہے؛ 60° شمال پر صرف 56 کلومیٹر)۔
- c اس عدد کو زمین کے مرکز سے دیکھے گئے دونوں نقطوں کے درمیان کے زاویے میں، ریڈین میں، بدلتا ہے۔ عملاً
atan2والی شکل استعمال ہوتی ہے: یہ تب بھی درست رہتی ہے جب دونوں نقطے بہت قریب ہوں یا بالکل ایک دوسرے کے مقابل۔ - d فاصلہ ہے: وہ زاویہ ضرب زمین کا نصف قطر R۔ R کلومیٹر میں ہو تو کلومیٹر ملتے ہیں۔
لفظ ہیورسائن "half the versed sine" کا مخفف ہے، ایک مثلثیاتی فنکشن جو انیسویں صدی سے ملاحوں کے چھپے ہوئے جدولوں میں ہوتا تھا، کیونکہ اس سے جہاز پر ہاتھ سے بالکل یہی حساب آسان ہو جاتا تھا۔ جدید کمپیوٹر والا روپ وہی خیال ہے، sin² سے لکھا ہوا۔
نیویارک سے لندن، مرحلہ وار
کیلکولیٹر شہر کے مرکز کے یہ محلِ وقوع استعمال کرتا ہے: نیویارک عرضِ بلد 40.7128°، طولِ بلد −74.0060° (مغرب منفی ہے)، اور لندن عرضِ بلد 51.5074°، طولِ بلد −0.1278°۔ کیلکولیٹر والے ہی زمینی نصف قطر، 6378.137 کلومیٹر، کے ساتھ فارمولا چلانے پر:
| مرحلہ | فارمولا | قدر |
|---|---|---|
| نیویارک کا عرضِ بلد ریڈین میں | φ₁ = 40.7128 · π / 180 | 0.710572 rad |
| لندن کا عرضِ بلد ریڈین میں | φ₂ = 51.5074 · π / 180 | 0.898974 rad |
| عرضِ بلد کا فرق | Δφ = φ₂ − φ₁ | 0.188401 rad |
| طولِ بلد کا فرق | Δλ = (−0.1278 − (−74.0060)) · π / 180 | 1.289418 rad |
| ہیورسائن جزو | a = sin²(Δφ/2) + cos φ₁ · cos φ₂ · sin²(Δλ/2) | 0.17923643 |
| مرکزی زاویہ | c = 2 · atan2(√a, √(1 − a)) | 0.874309 rad |
| فاصلہ | d = 6378.137 کلومیٹر · c | 5,576.5 کلومیٹر |
دو باتیں قابلِ غور ہیں۔ مرکزی زاویہ تقریباً 50 ڈگری ہے، پورے چکر کا ساتواں حصہ، اسی لیے نیویارک اور لندن کے درمیان کی قوس ہموار نقشے پر اتنی واضح خمدار نظر آتی ہے۔ اور طولِ بلد کا فرق (1.2894 rad، تقریباً 74°) عرضِ بلد کے فرق (0.1884 rad، تقریباً 11°) سے کہیں زیادہ اہم ہے: دونوں شہر تقریباً ایک ہی اونچائی پر ہیں، اس لیے زیادہ تر فاصلہ مشرق–مغرب ہے۔
یہ کتنا درست ہے؟
فارمولا فرض کرتا ہے کہ زمین ایک مکمل کرہ ہے۔ ایسا نہیں ہے: یہ خطِ استوا پر ابھری ہوئی اور قطبین پر چپٹی ہے، تقریباً 300 میں 1 کے حساب سے۔ مرکز سے خطِ استوا کا فاصلہ 6378.1 کلومیٹر ہے، قطبین کا 6356.8 کلومیٹر۔
اس کے دو عملی نتیجے ہیں:
- آپ جو نصف قطر چنتے ہیں، اس سے جواب بدلتا ہے۔ یہ سائٹ استوائی نصف قطر، 6378.137 کلومیٹر، استعمال کرتی ہے اور نیویارک–لندن کے لیے 5,576.5 کلومیٹر پاتی ہے۔ بہت سے حوالے اس کے بجائے 6371 کلومیٹر کا اوسط نصف قطر لیتے ہیں اور 5,570.2 کلومیٹر پاتے ہیں۔ دونوں "ہی" ہیورسائن فاصلہ ہیں؛ فرق تقریباً 0.1 % کا ہے۔
- زمین کی اصل شکل کے مقابلے میں ہیورسائن تقریباً 0.5 % تک چوک سکتا ہے۔ نیویارک–لندن کے لیے یہ تقریباً 28 کلومیٹر تک ہے۔ لندن–سڈنی، تقریباً 17,000 کلومیٹر، کے لیے 50 کلومیٹر یا زیادہ ہو سکتا ہے۔ ونسنٹی کے فارمولوں جیسے طریقے بیضوی سطح پر کام کرتے ہیں اور ملی میٹر تک پہنچتے ہیں، لیکن حساب میں کہیں بھاری ہیں اور تقریباً متقابل نقطوں کے لیے کبھی کبھی حل نہیں نکال پاتے۔
فاصلے کے کیلکولیٹر یا دوڑ ٹریک کرنے والی ایپ کے لیے آدھا فیصد معمولی ہے اور ہیورسائن ہی صحیح اوزار ہے: مٹھی بھر حساب، کوئی تکرار نہیں، ناکامی کی کوئی صورت نہیں۔ جن سروے کرنے والوں اور نیویگیشن نظاموں کو سینٹی میٹر کی پروا ہے، وہ بیضوی طریقے استعمال کرتے ہیں۔