На карті маршрут далекого польоту майже ніколи не має вигляду прямої лінії — лише дуги. Здається, що це обхідний шлях, але насправді він найкоротший.
Щоб це перевірити, досить глобуса й шматка нитки. Притисніть один кінець до Лондона, а другий — до Нью-Йорка й натягніть нитку: вона не йде паралеллю на захід, а піднімається над Атлантикою, проходить поблизу Гренландії й знову спускається. Саме так летять літаки. Такий шлях називають великим колом (ортодромією): це край, який виходить, якщо розрізати глобус навпіл через центр. На кулі це найпряміша можлива лінія.
Проблеми починаються, коли кулю переносять на площину, як у більшості карт: пропорції спотворюються. Біля екватора пласка карта майже не відрізняється від кулі, але що ближче до полюсів, то сильніше вона розтягується. На найпоширенішій карті Гренландія здається майже такою ж великою, як Африка, хоча насправді Африка приблизно в чотирнадцять разів більша.
Тому що далі від екватора пролягає траєкторія польоту, то вигнутішою вона здається на площині. Маршрут Лондон — Нью-Йорк утворює виразну дугу, а Мадрид — Буенос-Айрес, який перетинає екватор, майже прямий.
Формула гаверсинусів обчислює довжину цього шляху за координатами двох точок.
Спробуйте: перетягніть маркери
Спочатку два маркери нижче стоять у Лондоні та Нью-Йорку. Перетягніть будь-який із них у будь-яке місце світу — і відстань оновиться. Синя лінія між ними — дуга великого кола, тобто натягнута нитка; бліда сіра лінія — те, що накреслила б лінійка на пласкій карті. Пересуньте пару далі на північ — і синя лінія вигнеться сильніше; опустіть її до екватора — і обидві лінії майже зіллються.
Перетягніть маркер A або B у будь-яке місце карти. Синя лінія — найкоротший шлях по глобусу, сіра — пряма на пласкій карті; відстань перераховується, щойно ви їх переміщуєте.
Координати також можна ввести тут.
Що робить формула гаверсинусів, простими словами
Формула гаверсинусів — це спосіб, у який комп’ютер вимірює нитку без глобуса. Вона бере дві координати кожного місця: широту (наскільки на північ чи на південь від екватора) і довготу (наскільки на схід чи на захід від Гринвіцького меридіана), — і робить дві речі:
- Визначає, наскільки великий шматок глобуса розділяє дві точки: кут між ними, якщо дивитися з центру Землі. Мадрид і Барселону розділяють приблизно чотири з половиною градуси з 360 повного оберту.
- Переводить цей шматок у кілометри з урахуванням розміру Землі. Повне коло навколо планети — приблизно 40 000 км, тож чотири з половиною градуси — це близько 500 км.
Уся хитрість — у кроці 1. Градус довготи на екваторі — це чимало, приблизно 111 км, а на полюсах, де сходяться всі меридіани, він зменшується до нуля. Формула це знає й робить поправку, тому працює однаково добре і між двома норвезькими містечками, і між двома бразильськими.
Дивна назва походить від старої тригонометричної функції — гаверсинуса, яку моряки у XIX столітті мали в друкованих таблицях, бо вона дозволяла легко виконати саме цей розрахунок уручну, на кораблі. Комп’ютерна версія — та сама ідея, записана в дюжині рядків коду.
Обчисліть самі
Якщо хочете побачити, який вигляд насправді має формула, простежити обчислення Нью-Йорк — Лондон число за числом, скопіювати робочу версію на JavaScript і дізнатися, наскільки вона точна на планеті, яка не є ідеальною кулею, відкрийте калькулятор гаверсинусів. Там та сама інтерактивна карта, де кожне проміжне значення формули перераховується, поки ви перетягуєте маркери.
Щоб дізнатися відстань по прямій між будь-якими двома місцями, а також відстань дорогами й орієнтовний час польоту, відкрийте калькулятор і введіть два міста або почніть із маршруту Мадрид — Барселона.