Przeciągnij znacznik A lub B w dowolne miejsce na mapie. Niebieska linia to najkrótsza droga po kuli ziemskiej, szara – linia prosta na płaskiej mapie; odległość i każdy krok wzoru przeliczają się na bieżąco, gdy je przesuwasz.
Współrzędne możesz też wpisać tutaj.
Wzór krok po kroku dla dwóch powyższych punktów
| Krok | Wzór | Wartość |
|---|---|---|
| Szerokość A w radianach | φ₁ = lat(A) · π / 180 | 0,710572 rad |
| Szerokość B w radianach | φ₂ = lat(B) · π / 180 | 0,898974 rad |
| Różnica szerokości | Δφ = φ₂ − φ₁ | 0,188401 rad |
| Różnica długości | Δλ = λ₂ − λ₁ | 1,289418 rad |
| Człon haversine | a = sin²(Δφ/2) + cos φ₁ · cos φ₂ · sin²(Δλ/2) | 0,17923643 |
| Kąt środkowy | c = 2 · atan2(√a, √(1 − a)) | 0,874309 rad |
| Odległość | d = R · c (R = 6378,137 km) | 5576,5 km |
Gdy wpiszesz do kalkulatora Nowy Jork i Londyn, pierwsza liczba, jaką zobaczysz, to 5 576 km. Nie sprawdzano przy tym żadnej drogi ani rozkładu lotów: to najkrótsza możliwa droga po powierzchni Ziemi między centrami obu miast, a wynika z krótkiego fragmentu trygonometrii zwanego wzorem haversine. Ten artykuł zapisuje wzór w całości, przechodzi krok po kroku przez dokładnie to obliczenie Nowy Jork – Londyn i pozwala przeciągać dwa punkty po mapie, żeby na bieżąco widzieć, jak zmienia się każdy krok. Jeśli wolisz najpierw poznać samą ideę bez równań, zacznij od wprowadzenia w prostych słowach.
Dlaczego linijka na płaskiej mapie kłamie
Na mapie trasa długiego lotu prawie nigdy nie wygląda jak linia prosta, tylko jak łuk. Sprawia wrażenie nadkładania drogi, a jest najkrótszą trasą.
Żeby to sprawdzić, wystarczą globus i kawałek sznurka. Przyłóż jeden koniec do Londynu, drugi do Nowego Jorku i napnij sznurek: nie biegnie wzdłuż równoleżnika na zachód, tylko wznosi się nad Atlantykiem, mija z bliska Grenlandię i znów opada. Tę samą drogę pokonują samoloty. Taka droga to koło wielkie (ortodroma): krawędź, którą widać po przecięciu globusa na pół przez jego środek. Na kuli to najprostsza możliwa linia. Linia, którą kalkulator rysuje między dwoma miastami, to właśnie ten łuk przeniesiony na płaską mapę.
Kłopot zaczyna się, gdy kulę przenosi się na płaszczyznę, jak na większości map: proporcje się zniekształcają. W pobliżu równika płaska mapa jest prawie identyczna z kulą, ale im bliżej biegunów, tym bardziej się rozciąga. Na najpopularniejszej mapie Grenlandia wydaje się niemal tak duża jak Afryka, która w rzeczywistości jest mniej więcej czternaście razy większa.
Dlatego trasa lotu narysowana na płaszczyźnie wydaje się tym bardziej wygięta, im dalej od równika przebiega. Trasa Londyn – Nowy Jork tworzy wyraźny łuk, a Madryt – Buenos Aires, która przecina równik, wygląda niemal jak prosta.
Żeby więc mierzyć poprawnie, odkładamy mapę na bok i pracujemy na samej kuli, z szerokościami i długościami geograficznymi. To właśnie robi wzór haversine.
Wzór
Nazwijmy dwa punkty A i B. Każdy ma szerokość geograficzną φ (fi) i długość geograficzną λ (lambda), czyli dwa kąty, które wyznaczają jego położenie na globusie. Szerokość mówi, jak daleko na północ lub na południe od równika; długość – jak daleko na wschód lub na zachód od południka Greenwich.
Linijka po linijce:
- Δφ (delta fi) to różnica szerokości geograficznej między A i B, a Δλ (delta lambda) – różnica długości. Obie muszą być w radianach, nie w stopniach: pomnóż stopnie przez π i podziel przez 180.
- a to „haversinus” kąta środkowego. Łączy odstęp północ–południe z odstępem wschód–zachód, skalując część wschód–zachód przez cosinusy obu szerokości, bo stopień długości geograficznej jest tym krótszy, im bliżej bieguna się znajdujesz (na równiku jeden stopień długości to około 111 km; na 60° szerokości północnej tylko 56 km).
- c zamienia tę liczbę na kąt w radianach między dwoma punktami, widziany ze środka Ziemi. W praktyce używa się postaci z
atan2: pozostaje dokładna nawet wtedy, gdy punkty leżą bardzo blisko siebie albo dokładnie naprzeciw siebie. - d to odległość: ten kąt pomnożony przez promień Ziemi R. Gdy R jest w kilometrach, wynik też wychodzi w kilometrach.
Słowo haversine to skrót od angielskiego „half the versed sine”, czyli połowa sinusa versus – funkcji trygonometrycznej, którą żeglarze mieli w drukowanych tablicach od XIX wieku, bo pozwalała łatwo wykonać właśnie to obliczenie ręcznie, na statku. Współczesna wersja komputerowa to ta sama idea zapisana za pomocą sin².
Z Nowego Jorku do Londynu, krok po kroku
Kalkulator używa tych współrzędnych centrów miast: Nowy Jork – szerokość 40,7128°, długość −74,0060° (zachód jest ujemny), Londyn – szerokość 51,5074°, długość −0,1278°. Podstawiając je do wzoru z tym samym promieniem Ziemi, którego używa kalkulator, czyli 6378,137 km, otrzymujemy:
| Krok | Wzór | Wartość |
|---|---|---|
| Szerokość Nowego Jorku w radianach | φ₁ = 40,7128 · π / 180 | 0,710572 rad |
| Szerokość Londynu w radianach | φ₂ = 51,5074 · π / 180 | 0,898974 rad |
| Różnica szerokości | Δφ = φ₂ − φ₁ | 0,188401 rad |
| Różnica długości | Δλ = (−0,1278 − (−74,0060)) · π / 180 | 1,289418 rad |
| Haversinus kąta środkowego | a = sin²(Δφ/2) + cos φ₁ · cos φ₂ · sin²(Δλ/2) | 0,17923643 |
| Kąt środkowy | c = 2 · atan2(√a, √(1 − a)) | 0,874309 rad |
| Odległość | d = 6378,137 km · c | 5 576,5 km |
Warto zauważyć dwie rzeczy. Kąt środkowy wynosi około 50 stopni, czyli jedną siódmą pełnego obrotu, i dlatego łuk między Nowym Jorkiem a Londynem tak wyraźnie wygina się na płaskiej mapie. Poza tym różnica długości (1,2894 rad, około 74°) waży znacznie więcej niż różnica szerokości (0,1884 rad, około 11°): oba miasta leżą mniej więcej na tej samej wysokości, więc większość odległości przypada na kierunek wschód–zachód.
Jak dokładny jest wzór haversine?
Wzór zakłada, że Ziemia jest idealną kulą. Nie jest: na równiku jest wybrzuszona, a na biegunach spłaszczona, mniej więcej o jedną trzechsetną. Odległość od środka do równika wynosi 6378,1 km, a do biegunów 6356,8 km.
Ma to dwie praktyczne konsekwencje:
- Wybrany promień zmienia wynik. Ta strona używa promienia równikowego, 6378,137 km, i dla trasy Nowy Jork – Londyn otrzymuje 5 576,5 km. Wiele źródeł używa zamiast tego średniego promienia 6371 km i otrzymuje 5 570,2 km. Oba wyniki to „prawdziwa” odległość haversine; różnią się o około 0,1%.
- W porównaniu z rzeczywistym kształtem Ziemi haversine może się mylić nawet o około 0,5%. Dla trasy Nowy Jork – Londyn to do około 28 km. Dla trasy Londyn – Sydney, liczącej około 17 000 km, może to być 50 km lub więcej. Metody takie jak wzory Vincenty'ego działają na elipsoidzie i osiągają dokładność co do milimetra, za cenę znacznie cięższych obliczeń i tego, że dla punktów niemal antypodycznych czasem nie są zbieżne.
Dla kalkulatora odległości albo aplikacji do biegania pół procenta to szum, a haversine jest właściwym narzędziem: garść działań, żadnych iteracji, żadnych przypadków, w których zawodzi. Geodeci i systemy nawigacyjne, którym zależy na centymetrach, używają metod elipsoidalnych.