विमान घुमावदार रास्ते से क्यों उड़ते दिखते हैं?

नक्शे पर किसी लंबी उड़ान का रास्ता लगभग कभी सीधी रेखा नहीं दिखता, बल्कि एक चाप की तरह दिखता है। यह घुमाव जैसा लगता है, लेकिन यही सबसे छोटा रास्ता है।

इसे जाँचने के लिए एक ग्लोब और एक धागा काफ़ी है। धागे का एक सिरा लंदन पर और दूसरा न्यूयॉर्क पर टिकाकर उसे कसें: वह अक्षांश रेखा के साथ पश्चिम की ओर नहीं जाता, बल्कि अटलांटिक के ऊपर चढ़ता है, ग्रीनलैंड के पास से गुज़रता है और फिर नीचे उतरता है। विमान ठीक यही रास्ता तय करते हैं। इस रास्ते को महावृत्त (ग्रेट सर्कल) कहते हैं, और यह वह किनारा है जो ग्लोब को उसके केंद्र से दो टुकड़ों में काटने पर दिखता है। गोले पर यही सबसे सीधी संभव रेखा है।

समस्या तब आती है जब गोले को समतल पर उतारा जाता है, जैसा ज़्यादातर नक्शों में होता है: अनुपात बिगड़ जाते हैं। भूमध्य रेखा के पास समतल नक्शा गोले से लगभग एक जैसा होता है, लेकिन ध्रुवों की ओर जितना बढ़ें, वह उतना ही खिंचता जाता है। सबसे आम नक्शे में ग्रीनलैंड लगभग अफ़्रीका जितना बड़ा दिखता है, जबकि अफ़्रीका असल में उससे करीब चौदह गुना बड़ा है।

इसीलिए समतल पर खींचा गया उड़ान का रास्ता भूमध्य रेखा से जितना दूर गुज़रता है, उतना ही ज़्यादा मुड़ा हुआ दिखता है। लंदन–न्यूयॉर्क एक साफ़ चाप बनाता है, जबकि भूमध्य रेखा पार करने वाला मैड्रिड–ब्यूनस आयर्स लगभग सीधा दिखता है।

हैवरसाइन सूत्र दोनों बिंदुओं के निर्देशांकों से इस रास्ते की लंबाई निकालता है।

आज़माइए: मार्कर खींचिए

नीचे के दोनों मार्कर लंदन और न्यूयॉर्क से शुरू होते हैं। किसी भी एक को दुनिया में कहीं भी खींचिए और दूरी अपने आप बदल जाती है। उनके बीच की नीली रेखा महावृत्त का चाप है, यानी कसा हुआ धागा; हल्की धूसर रेखा वह है जो समतल नक्शे पर रूलर से खींची जाती। दोनों को और उत्तर ले जाइए तो नीली रेखा और मुड़ती है; भूमध्य रेखा की ओर नीचे लाइए तो दोनों रेखाएँ लगभग मिल जाती हैं।

हैवरसाइन सूत्र क्या करता है, सरल शब्दों में

हैवरसाइन सूत्र वह तरीका है जिससे कंप्यूटर बिना ग्लोब के उस धागे को नापता है। वह हर जगह के दो निर्देशांक लेता है, अक्षांश (भूमध्य रेखा से कितना उत्तर या दक्षिण) और देशांतर (ग्रीनविच याम्योत्तर से कितना पूर्व या पश्चिम), और दो काम करता है:

1. वह निकालता है कि दोनों बिंदुओं को ग्लोब का कितना बड़ा हिस्सा अलग करता है: पृथ्वी के केंद्र से देखने पर उनके बीच का कोण। मैड्रिड और बार्सिलोना पूरे चक्कर के 360 में से लगभग साढ़े चार डिग्री दूर हैं।
2. वह पृथ्वी के आकार की मदद से उस हिस्से को किलोमीटर में बदलता है। ग्रह का पूरा चक्कर लगभग 40,000 किमी का है, इसलिए साढ़े चार डिग्री लगभग 500 किमी हुए।

चतुराई पहले चरण में है। एक डिग्री देशांतर भूमध्य रेखा पर बहुत होता है, लगभग 111 किमी, और ध्रुवों पर, जहाँ सारे याम्योत्तर मिलते हैं, सिकुड़कर शून्य हो जाता है। सूत्र यह जानता है और इसे ठीक करता है, इसीलिए वह नॉर्वे के दो कस्बों के बीच उतना ही सही काम करता है जितना ब्राज़ील के दो कस्बों के बीच।

अजीब नाम एक पुराने त्रिकोणमितीय फलन, हैवरसाइन, से आया है, जो उन्नीसवीं सदी में नाविकों की छपी हुई सारणियों में होता था, क्योंकि उससे जहाज़ पर हाथ से ठीक यही गणना आसान हो जाती थी। कंप्यूटर वाला रूप वही विचार है, कोड की एक दर्जन पंक्तियों में लिखा हुआ।

खुद गणना कीजिए

अगर आप असली सूत्र देखना चाहते हैं, न्यूयॉर्क–लंदन की गणना को अंक-दर-अंक समझना चाहते हैं, चलता हुआ JavaScript संस्करण कॉपी करना चाहते हैं और जानना चाहते हैं कि ऐसे ग्रह पर, जो पूर्ण गोला नहीं है, वह कितना सटीक है, तो हैवरसाइन कैलकुलेटर खोलिए। उसमें वही इंटरैक्टिव नक्शा है, जिसमें खींचते समय सूत्र का हर मध्यवर्ती मान दोबारा निकलता है।

किन्हीं दो जगहों के बीच सीधी दूरी, सड़क की दूरी और अनुमानित उड़ान समय जानने के लिए कैलकुलेटर खोलिए और दो शहर लिखिए, या मैड्रिड से बार्सिलोना से शुरू कीजिए।