मार्कर A या B को नक्शे पर कहीं भी खींचिए। नीली रेखा ग्लोब पर सबसे छोटा रास्ता है, धूसर रेखा समतल नक्शे पर सीधी रेखा; हिलाने पर दूरी और सूत्र का हर चरण दोबारा निकलता है।
आप यहाँ निर्देशांक खुद भी लिख सकते हैं।
न्यूयॉर्क से लंदन कैलकुलेटर में खोलेंऊपर के दो बिंदुओं के लिए सूत्र, चरण दर चरण
| चरण | सूत्र | मान |
|---|---|---|
| A का अक्षांश रेडियन में | φ₁ = lat(A) · π / 180 | 0.710572 rad |
| B का अक्षांश रेडियन में | φ₂ = lat(B) · π / 180 | 0.898974 rad |
| अक्षांश का अंतर | Δφ = φ₂ − φ₁ | 0.188401 rad |
| देशांतर का अंतर | Δλ = λ₂ − λ₁ | 1.289418 rad |
| हैवरसाइन पद | a = sin²(Δφ/2) + cos φ₁ · cos φ₂ · sin²(Δλ/2) | 0.17923643 |
| केंद्रीय कोण | c = 2 · atan2(√a, √(1 − a)) | 0.874309 rad |
| दूरी | d = R · c (R = 6,378.137 किमी) | 5,576.5 किमी |
कैलकुलेटर में न्यूयॉर्क और लंदन लिखने पर पहला नंबर जो मिलता है, वह है 5,576 किमी। इसके लिए कोई सड़क नहीं देखी गई, कोई उड़ान सारणी नहीं: यह दोनों शहरों के केंद्रों के बीच पृथ्वी की सतह पर सबसे छोटा संभव रास्ता है, और यह त्रिकोणमिति के एक छोटे से टुकड़े से निकलता है जिसे हैवरसाइन सूत्र कहते हैं। यह लेख सूत्र को पूरा लिखता है, न्यूयॉर्क–लंदन की यही गणना कदम-दर-कदम करता है, और आपको नक्शे पर दो बिंदु खींचकर हर चरण को लाइव बदलते देखने देता है। अगर आप पहले बिना समीकरणों के विचार समझना चाहते हैं, तो सरल शब्दों वाली भूमिका से शुरू कीजिए।
समतल नक्शे पर रूलर क्यों झूठ बोलता है
नक्शे पर किसी लंबी उड़ान का रास्ता लगभग कभी सीधी रेखा नहीं दिखता, बल्कि एक चाप की तरह दिखता है। यह घुमाव जैसा लगता है, लेकिन यही सबसे छोटा रास्ता है।
इसे जाँचने के लिए एक ग्लोब और एक धागा काफ़ी है। धागे का एक सिरा लंदन पर और दूसरा न्यूयॉर्क पर टिकाकर उसे कसें: वह अक्षांश रेखा के साथ पश्चिम की ओर नहीं जाता, बल्कि अटलांटिक के ऊपर चढ़ता है, ग्रीनलैंड के पास से गुज़रता है और फिर नीचे उतरता है। विमान ठीक यही रास्ता तय करते हैं। इस रास्ते को महावृत्त (ग्रेट सर्कल) कहते हैं, और यह वह किनारा है जो ग्लोब को उसके केंद्र से दो टुकड़ों में काटने पर दिखता है। गोले पर यही सबसे सीधी संभव रेखा है। कैलकुलेटर दो शहरों के बीच जो रेखा खींचता है, वह यही चाप है, समतल नक्शे पर उतारा हुआ।
समस्या तब आती है जब गोले को समतल पर उतारा जाता है, जैसा ज़्यादातर नक्शों में होता है: अनुपात बिगड़ जाते हैं। भूमध्य रेखा के पास समतल नक्शा गोले से लगभग एक जैसा होता है, लेकिन ध्रुवों की ओर जितना बढ़ें, वह उतना ही खिंचता जाता है। सबसे आम नक्शे में ग्रीनलैंड लगभग अफ़्रीका जितना बड़ा दिखता है, जबकि अफ़्रीका असल में उससे करीब चौदह गुना बड़ा है।
इसीलिए समतल पर खींचा गया उड़ान का रास्ता भूमध्य रेखा से जितना दूर गुज़रता है, उतना ही ज़्यादा मुड़ा हुआ दिखता है। लंदन–न्यूयॉर्क एक साफ़ चाप बनाता है, जबकि भूमध्य रेखा पार करने वाला मैड्रिड–ब्यूनस आयर्स लगभग सीधा दिखता है।
इसलिए सही नापने के लिए हम नक्शे को छोड़कर सीधे गोले पर, अक्षांश और देशांतर के साथ काम करते हैं। हैवरसाइन सूत्र यही करता है।
सूत्र
दोनों बिंदुओं को A और B कहते हैं। हर एक का एक अक्षांश φ (फ़ाई) और एक देशांतर λ (लैम्ब्डा) है, यानी वे दो कोण जो उसे ग्लोब पर स्थित करते हैं। अक्षांश बताता है कि भूमध्य रेखा से कितना उत्तर या दक्षिण; देशांतर, ग्रीनविच याम्योत्तर से कितना पूर्व या पश्चिम।
पंक्ति दर पंक्ति पढ़ें तो:
- Δφ (डेल्टा फ़ाई) A और B के अक्षांश का अंतर है, और Δλ (डेल्टा लैम्ब्डा) देशांतर का अंतर। दोनों रेडियन में होने चाहिए, डिग्री में नहीं: डिग्री को π से गुणा करके 180 से भाग दीजिए।
- a केंद्रीय कोण का "हैवरसाइन" है। यह उत्तर–दक्षिण के अंतर और पूर्व–पश्चिम के अंतर को मिलाता है, और पूर्व–पश्चिम वाले हिस्से को दोनों अक्षांशों के कोसाइन से घटाता-बढ़ाता है, क्योंकि ध्रुव के जितना पास हों, एक डिग्री देशांतर उतना ही छोटा होता है (भूमध्य रेखा पर एक डिग्री देशांतर लगभग 111 किमी है; 60° उत्तर पर सिर्फ़ 56 किमी)।
- c उस संख्या को पृथ्वी के केंद्र से देखे गए दोनों बिंदुओं के बीच के कोण में, रेडियन में, बदलता है। व्यवहार में
atan2वाला रूप इस्तेमाल होता है: यह तब भी सटीक रहता है जब दोनों बिंदु बहुत पास हों या ठीक एक-दूसरे के विपरीत। - d दूरी है: वह कोण गुणा पृथ्वी की त्रिज्या R। R किलोमीटर में हो तो किलोमीटर मिलते हैं।
हैवरसाइन शब्द "half the versed sine" का संक्षिप्त रूप है, एक त्रिकोणमितीय फलन जो 19वीं सदी से नाविकों की छपी सारणियों में रहता था, क्योंकि उससे जहाज़ पर हाथ से ठीक यही गणना आसान हो जाती थी। आधुनिक कंप्यूटर संस्करण वही विचार है, sin² से लिखा हुआ।
न्यूयॉर्क से लंदन, चरण दर चरण
कैलकुलेटर शहर के केंद्र के ये निर्देशांक इस्तेमाल करता है: न्यूयॉर्क अक्षांश 40.7128°, देशांतर −74.0060° (पश्चिम ऋणात्मक है), और लंदन अक्षांश 51.5074°, देशांतर −0.1278°। कैलकुलेटर वाली ही पृथ्वी-त्रिज्या, 6378.137 किमी, के साथ सूत्र चलाने पर:
| चरण | सूत्र | मान |
|---|---|---|
| न्यूयॉर्क का अक्षांश रेडियन में | φ₁ = 40.7128 · π / 180 | 0.710572 rad |
| लंदन का अक्षांश रेडियन में | φ₂ = 51.5074 · π / 180 | 0.898974 rad |
| अक्षांश का अंतर | Δφ = φ₂ − φ₁ | 0.188401 rad |
| देशांतर का अंतर | Δλ = (−0.1278 − (−74.0060)) · π / 180 | 1.289418 rad |
| हैवरसाइन पद | a = sin²(Δφ/2) + cos φ₁ · cos φ₂ · sin²(Δλ/2) | 0.17923643 |
| केंद्रीय कोण | c = 2 · atan2(√a, √(1 − a)) | 0.874309 rad |
| दूरी | d = 6378.137 किमी · c | 5,576.5 किमी |
दो बातें ध्यान देने लायक हैं। केंद्रीय कोण लगभग 50 डिग्री है, पूरे चक्कर का सातवाँ हिस्सा, इसीलिए न्यूयॉर्क और लंदन के बीच का चाप समतल नक्शे पर इतना साफ़ मुड़ा दिखता है। और देशांतर का अंतर (1.2894 rad, लगभग 74°) अक्षांश के अंतर (0.1884 rad, लगभग 11°) से कहीं ज़्यादा मायने रखता है: दोनों शहर लगभग एक ही ऊँचाई पर हैं, इसलिए ज़्यादातर दूरी पूर्व–पश्चिम है।
यह कितना सटीक है?
सूत्र मानता है कि पृथ्वी एक पूर्ण गोला है। वह नहीं है: भूमध्य रेखा पर उभरी हुई और ध्रुवों पर चपटी, लगभग 300 में 1 के हिसाब से। केंद्र से भूमध्य रेखा की दूरी 6378.1 किमी है, ध्रुवों की 6356.8 किमी।
इसके दो व्यावहारिक नतीजे हैं:
- आप जो त्रिज्या चुनते हैं, उससे जवाब बदलता है। यह साइट भूमध्यरेखीय त्रिज्या, 6378.137 किमी, इस्तेमाल करती है और न्यूयॉर्क–लंदन के लिए 5,576.5 किमी पाती है। कई संदर्भ इसके बजाय 6371 किमी की औसत त्रिज्या लेते हैं और 5,570.2 किमी पाते हैं। दोनों "ही" हैवरसाइन दूरी हैं; फ़र्क़ लगभग 0.1 % का है।
- पृथ्वी के असली आकार के मुकाबले हैवरसाइन लगभग 0.5 % तक चूक सकता है। न्यूयॉर्क–लंदन के लिए यह लगभग 28 किमी तक है। लंदन–सिडनी, लगभग 17,000 किमी, के लिए 50 किमी या ज़्यादा हो सकता है। विन्सेंटी के सूत्र जैसी विधियाँ दीर्घवृत्ताभ पर काम करती हैं और मिलीमीटर तक पहुँचती हैं, लेकिन गणना में कहीं भारी हैं और लगभग प्रतिध्रुवीय बिंदुओं के लिए कभी-कभी हल नहीं निकाल पातीं।
दूरी कैलकुलेटर या दौड़ ट्रैक करने वाली ऐप के लिए आधा प्रतिशत मामूली है और हैवरसाइन सही औज़ार है: मुट्ठी भर गणनाएँ, कोई दोहराव नहीं, कोई असफल मामला नहीं। जिन सर्वेक्षकों और नेविगेशन प्रणालियों को सेंटीमीटर की परवाह है, वे दीर्घवृत्ताभ विधियाँ इस्तेमाल करते हैं।