Pourquoi les avions semblent-ils voler en courbe ?

Sur une carte, la route d'un long vol n'apparaît presque jamais comme une ligne droite, mais comme un arc. On dirait un détour ; c'est pourtant le chemin le plus court.

Un globe terrestre et un fil suffisent pour le vérifier. Fixez une extrémité sur Londres et l'autre sur New York, puis tendez le fil : il ne suit pas le parallèle vers l'ouest, il monte au-dessus de l'Atlantique, passe près du Groenland et redescend. C'est exactement le trajet des avions. Ce chemin s'appelle un grand cercle : c'est le bord que l'on obtient en coupant le globe en deux par son centre. Sur la sphère, c'est la ligne la plus droite possible.

Le problème apparaît quand on passe de la sphère au plan, comme sur la plupart des cartes : les proportions se déforment. Près de l'équateur, la carte plane est presque identique à la sphère, mais plus on s'éloigne vers les pôles, plus elle s'étire. Sur la carte la plus courante, le Groenland paraît presque aussi grand que l'Afrique, qui est en réalité environ quatorze fois plus grande.

C'est pourquoi la trajectoire d'un vol, dessinée sur le plan, paraît d'autant plus courbe qu'elle passe loin de l'équateur. Londres–New York dessine un arc marqué, tandis que Madrid–Buenos Aires, qui traverse l'équateur, paraît presque droite.

La formule de haversine (ou du demi-sinus verse) calcule la longueur de ce chemin à partir des coordonnées des deux points.

Essayez : déplacez les marqueurs

Les deux marqueurs ci-dessous partent de Londres et de New York. Faites glisser l'un ou l'autre n'importe où dans le monde et la distance se met à jour. La ligne bleue entre eux est l'arc de grand cercle, le fil tendu ; la fine ligne grise est ce qu'une règle tracerait sur la carte plane. Déplacez la paire vers le nord et la ligne bleue se courbe davantage ; descendez-la vers l'équateur et les deux lignes se confondent presque.

Ce que fait la formule de haversine, en mots

La formule de haversine est la façon dont un ordinateur mesure le fil sans globe. Elle prend les deux coordonnées de chaque lieu, la latitude (à quelle distance au nord ou au sud de l'équateur) et la longitude (à quelle distance à l'est ou à l'ouest du méridien de Greenwich), et fait deux choses :

1. Elle calcule la taille de la part du globe qui sépare les deux points : l'angle entre eux vu depuis le centre de la Terre. Madrid et Barcelone sont séparées d'environ quatre degrés et demi sur les 360 d'un tour complet.
2. Elle convertit cette part en kilomètres grâce à la taille de la Terre. Un tour complet de la planète fait environ 40 000 km, donc quatre degrés et demi font environ 500 km.

L'astuce est dans l'étape 1. Un degré de longitude est long à l'équateur, environ 111 km, et se réduit à rien aux pôles, où tous les méridiens se rejoignent. La formule le sait et le corrige, et c'est pourquoi elle fonctionne aussi bien entre deux villages de Norvège qu'entre deux villages du Brésil.

Le nom étrange vient d'une ancienne fonction trigonométrique, le haversine ou demi-sinus verse, que les navigateurs avaient dans des tables imprimées au XIXe siècle parce qu'elle rendait précisément ce calcul facile à faire à la main, en mer. La version pour ordinateur est la même idée écrite en une douzaine de lignes de code.

Calculez-le vous-même

Si vous voulez voir la formule elle-même, suivre le calcul New York–Londres chiffre par chiffre, copier une version JavaScript qui fonctionne et savoir quelle est sa précision sur une planète qui n'est pas une sphère parfaite, ouvrez le calculateur haversine. Il propose la même carte interactive, avec chaque valeur intermédiaire de la formule recalculée pendant que vous faites glisser les marqueurs.

Pour obtenir la distance à vol d'oiseau entre deux lieux quelconques, avec la distance par la route et le temps de vol estimé, ouvrez le calculateur et saisissez deux villes, ou partez de Madrid à Barcelone.