Calculateur haversine : la formule étape par étape

Quand vous saisissez New York et Londres dans le calculateur, le premier nombre qui s'affiche est 5 576 km. Aucune route n'a été consultée, aucun horaire d'avion : c'est le chemin le plus court possible sur la surface de la Terre entre les deux centres-villes, et il sort d'un petit morceau de trigonométrie appelé formule de haversine. Cet article écrit la formule en entier, déroule ce calcul exact New York–Londres et vous laisse déplacer deux points sur une carte pour voir chaque étape se mettre à jour en direct. Si vous préférez d'abord l'idée sans les équations, commencez par l'introduction en mots simples.

Pourquoi une règle sur une carte plane ment

Sur une carte, la route d'un long vol n'apparaît presque jamais comme une ligne droite, mais comme un arc. On dirait un détour ; c'est pourtant le chemin le plus court.

Un globe terrestre et un fil suffisent pour le vérifier. Fixez une extrémité sur Londres et l'autre sur New York, puis tendez le fil : il ne suit pas le parallèle vers l'ouest, il monte au-dessus de l'Atlantique, passe près du Groenland et redescend. C'est exactement le trajet des avions. Ce chemin s'appelle un grand cercle : c'est le bord que l'on obtient en coupant le globe en deux par son centre. Sur la sphère, c'est la ligne la plus droite possible. La ligne que le calculateur trace entre deux villes est cet arc, dessiné sur la carte plane.

Le problème apparaît quand on passe de la sphère au plan, comme sur la plupart des cartes : les proportions se déforment. Près de l'équateur, la carte plane est presque identique à la sphère, mais plus on s'éloigne vers les pôles, plus elle s'étire. Sur la carte la plus courante, le Groenland paraît presque aussi grand que l'Afrique, qui est en réalité environ quatorze fois plus grande.

C'est pourquoi la trajectoire d'un vol, dessinée sur le plan, paraît d'autant plus courbe qu'elle passe loin de l'équateur. Londres–New York dessine un arc marqué, tandis que Madrid–Buenos Aires, qui traverse l'équateur, paraît presque droite.

Pour mesurer correctement, on laisse donc la carte de côté et on travaille sur la sphère elle-même, avec des latitudes et des longitudes. C'est ce que fait la formule de haversine.

La formule

Appelons A et B les deux points. Chacun a une latitude φ (phi) et une longitude λ (lambda), les deux angles qui le situent sur le globe. La latitude dit à quelle distance au nord ou au sud de l'équateur ; la longitude, à quelle distance à l'est ou à l'ouest du méridien de Greenwich.

Lecture ligne par ligne :

• Δφ (delta phi) est la différence de latitude entre A et B, et Δλ (delta lambda) la différence de longitude. Les deux doivent être en radians, pas en degrés : multipliez les degrés par π et divisez par 180.
• a est le haversine de l'angle central. Il combine l'écart nord–sud et l'écart est–ouest, en pondérant la partie est–ouest par les cosinus des deux latitudes, parce qu'un degré de longitude est d'autant plus court qu'on est près d'un pôle (à l'équateur, un degré de longitude fait environ 111 km ; à 60° nord, seulement 56 km).
• c transforme ce nombre en l'angle, en radians, entre les deux points vus depuis le centre de la Terre. La forme avec atan2 est celle utilisée en pratique : elle reste précise même quand les deux points sont extrêmement proches ou exactement opposés.
• d est la distance : cet angle multiplié par le rayon de la Terre, R. Avec R en kilomètres, on obtient des kilomètres.

Le mot haversine est l'abréviation de half the versed sine , le demi-sinus verse, une fonction trigonométrique que les navigateurs avaient dans des tables imprimées depuis le XIXe siècle parce qu'elle rendait précisément ce calcul facile à faire à la main en mer. La version moderne pour ordinateur est la même idée écrite avec sin².

De New York à Londres, étape par étape

Le calculateur utilise ces coordonnées de centre-ville : New York à la latitude 40,7128°, longitude −74,0060° (l'ouest est négatif), et Londres à la latitude 51,5074°, longitude −0,1278°. En appliquant la formule avec le même rayon terrestre que le calculateur, 6378,137 km :

Deux choses à remarquer. L'angle central fait environ 50 degrés, un septième d'un tour complet, et c'est pourquoi l'arc entre New York et Londres se courbe si visiblement sur la carte plane. Et la différence de longitude (1,2894 rad, environ 74°) compte bien plus que la différence de latitude (0,1884 rad, environ 11°) : les deux villes sont à peu près à la même hauteur, donc l'essentiel de la distance est est–ouest.

Quelle est sa précision ?

La formule suppose que la Terre est une sphère parfaite. Ce n'est pas le cas : elle est renflée à l'équateur et aplatie aux pôles, d'environ une part sur 300. La distance du centre à l'équateur est de 6378,1 km ; aux pôles, de 6356,8 km.

Cela a deux conséquences pratiques :

1. Le rayon choisi change la réponse. Ce site utilise le rayon équatorial, 6378,137 km, et obtient 5 576,5 km pour New York–Londres. Beaucoup de références utilisent plutôt le rayon moyen de 6371 km et obtiennent 5 570,2 km. Les deux sont la distance haversine ; elles diffèrent d'environ 0,1 %.
2. Face à la forme réelle de la Terre, haversine peut s'écarter jusqu'à environ 0,5 %. Pour New York–Londres, cela représente jusqu'à environ 28 km. Pour Londres–Sydney, environ 17 000 km, cela peut être 50 km ou plus. Des méthodes comme les formules de Vincenty travaillent sur l'ellipsoïde et arrivent au millimètre, au prix de calculs beaucoup plus lourds et d'une convergence qui échoue parfois pour des points presque antipodaux.

Pour un calculateur de distances ou une application de course à pied, un demi pour cent est du bruit et haversine est le bon outil : une poignée d'opérations, pas d'itérations, pas de cas d'échec. Les géomètres et les systèmes de navigation qui se soucient des centimètres utilisent les méthodes ellipsoïdales.