Arrastrá el marcador A o el B a cualquier punto del mapa. La línea azul es el camino más corto sobre el globo; la gris, la recta sobre el mapa plano. La distancia y cada paso de la fórmula se recalculan al moverlos.
También podés escribir las coordenadas acá.
Abrir Nueva York a Londres en la calculadoraLa fórmula paso a paso para los dos puntos de arriba
| Paso | Fórmula | Valor |
|---|---|---|
| Latitud de A en radianes | φ₁ = lat(A) · π / 180 | 0,710572 rad |
| Latitud de B en radianes | φ₂ = lat(B) · π / 180 | 0,898974 rad |
| Diferencia de latitud | Δφ = φ₂ − φ₁ | 0,188401 rad |
| Diferencia de longitud | Δλ = λ₂ − λ₁ | 1,289418 rad |
| Término haversine | a = sin²(Δφ/2) + cos φ₁ · cos φ₂ · sin²(Δλ/2) | 0,17923643 |
| Ángulo central | c = 2 · atan2(√a, √(1 − a)) | 0,874309 rad |
| Distancia | d = R · c (R = 6378,137 km) | 5576,5 km |
Cuando escribís Nueva York y Londres en la calculadora, el primer número que aparece es 5.576 km. Para obtenerlo no se consultó ninguna carretera ni ningún horario de vuelos: es el camino más corto posible sobre la superficie de la Tierra entre los dos centros urbanos, y sale de un trozo corto de trigonometría llamado fórmula de Haversine (o del semiverseno). Este artículo escribe la fórmula completa, recorre ese cálculo exacto de Nueva York a Londres y te deja arrastrar dos puntos por un mapa para ver cómo cambia cada paso en vivo. Si preferís arrancar por la idea sin ecuaciones, empezá por la introducción en palabras llanas.
Por qué una regla sobre un mapa plano miente
En un mapa, la ruta de un vuelo largo casi nunca aparece como una línea recta, sino como un arco. Parece un desvío, pero es el camino más corto.
Un globo terráqueo y un hilo alcanzan para comprobarlo. Si se fija una punta en Londres y la otra en Nueva York y se tensa el hilo, este no sigue el paralelo hacia el oeste: sube sobre el Atlántico, pasa cerca de Groenlandia y vuelve a bajar. Es el mismo recorrido que hacen los aviones. Ese camino se llama círculo máximo, y es el borde que aparece al cortar el globo en dos por el centro. Sobre la esfera es la línea más recta posible. La línea que la calculadora dibuja entre dos ciudades es ese arco, trazado sobre el mapa plano.
El problema aparece al pasar la esfera a un plano, como en la mayoría de los mapas: las proporciones se distorsionan. Cerca del ecuador el mapa plano es casi idéntico a la esfera, pero cuanto más se aleja uno hacia los polos, más se estira. En el mapa más común, Groenlandia aparece casi del tamaño de África, que en realidad es unas catorce veces más grande.
Por eso la trayectoria de un vuelo, dibujada en el plano, se ve más curva cuanto más lejos del ecuador pasa. Londres–Nueva York dibuja un arco marcado, mientras que Madrid–Buenos Aires, que cruza el ecuador, se ve casi recta.
Así que, para medir bien, dejamos el mapa de lado y trabajamos sobre la esfera misma, con latitudes y longitudes. Eso es lo que hace Haversine.
La fórmula
Llamemos A y B a los dos puntos. Cada uno tiene una latitud φ (fi) y una longitud λ (lambda), los dos ángulos que lo ubican en el globo. La latitud dice cuánto al norte o al sur del ecuador está; la longitud, cuánto al este o al oeste del meridiano de Greenwich.
Leída línea por línea:
- Δφ (delta fi) es la diferencia de latitud entre A y B, y Δλ (delta lambda) la diferencia de longitud. Las dos tienen que estar en radianes, no en grados: se multiplican los grados por π y se divide por 180.
- a es el "haversine" o semiverseno del ángulo central. Mezcla la separación norte–sur con la separación este–oeste, escalando esta última por los cosenos de ambas latitudes, porque un grado de longitud es más corto cuanto más cerca de un polo estás (en el ecuador un grado de longitud son unos 111 km; a 60° de latitud norte son solo 56 km).
- c convierte ese número en el ángulo, en radianes, entre los dos puntos visto desde el centro de la Tierra. La forma con
atan2es la que se usa en la práctica: sigue siendo precisa aunque los dos puntos estén muy cerca o exactamente en las antípodas. - d es la distancia: ese ángulo multiplicado por el radio de la Tierra, R. Con R en kilómetros, el resultado sale en kilómetros.
La palabra haversine viene del inglés "half the versed sine", "medio seno verso", una función trigonométrica que los navegantes tenían en tablas impresas desde el siglo XIX porque hacía fácil justamente este cálculo a mano, en un barco. La versión moderna para computadoras es la misma idea escrita con sen².
De Nueva York a Londres, paso a paso
La calculadora usa estas coordenadas de centro de ciudad: Nueva York en latitud 40,7128°, longitud −74,0060° (el oeste es negativo), y Londres en latitud 51,5074°, longitud −0,1278°. Aplicando la fórmula con el mismo radio terrestre que usa la calculadora, 6378,137 km:
| Paso | Fórmula | Valor |
|---|---|---|
| Latitud de Nueva York en radianes | φ₁ = 40,7128 · π / 180 | 0,710572 rad |
| Latitud de Londres en radianes | φ₂ = 51,5074 · π / 180 | 0,898974 rad |
| Diferencia de latitud | Δφ = φ₂ − φ₁ | 0,188401 rad |
| Diferencia de longitud | Δλ = (−0,1278 − (−74,0060)) · π / 180 | 1,289418 rad |
| Término haversine | a = sen²(Δφ/2) + cos φ₁ · cos φ₂ · sen²(Δλ/2) | 0,17923643 |
| Ángulo central | c = 2 · atan2(√a, √(1 − a)) | 0,874309 rad |
| Distancia | d = 6378,137 km · c | 5.576,5 km |
Dos cosas para notar. El ángulo central es de unos 50 grados, una séptima parte de la vuelta completa, y por eso el arco entre Nueva York y Londres se curva tanto sobre el mapa plano. Y la diferencia de longitud (1,2894 rad, unos 74°) pesa mucho más que la de latitud (0,1884 rad, unos 11°): las dos ciudades están más o menos a la misma altura, así que la mayor parte de la distancia es este–oeste.
Qué tan precisa es
La fórmula supone que la Tierra es una esfera perfecta. No lo es: está abultada en el ecuador y achatada en los polos, en más o menos una parte en 300. La distancia del centro al ecuador es de 6378,1 km; a los polos, 6356,8 km.
Eso tiene dos consecuencias prácticas:
- El radio que elijas cambia la respuesta. Este sitio usa el radio ecuatorial, 6378,137 km, y obtiene 5.576,5 km para Nueva York–Londres. Muchas referencias usan en cambio el radio medio de 6371 km y obtienen 5.570,2 km. Las dos son "la" distancia haversine; difieren en un 0,1 % aproximadamente.
- Frente a la forma real de la Tierra, Haversine puede desviarse hasta un 0,5 %. Para Nueva York–Londres son hasta unos 28 km. Para Londres–Sídney, unos 17.000 km, pueden ser 50 km o más. Métodos como las fórmulas de Vincenty trabajan sobre el elipsoide y se acercan a milímetros, a cambio de ser mucho más pesados de calcular y de fallar a veces para puntos casi antipodales.
Para una calculadora de distancias o una app que registra tus salidas a correr, medio por ciento es ruido y Haversine es la herramienta correcta: un puñado de operaciones, sin iteraciones, sin casos que fallen. Los topógrafos y los sistemas de navegación a los que les importan los centímetros usan los métodos elipsoidales.