Warum scheinen Flugzeuge in einer Kurve zu fliegen?

Auf einer Karte erscheint die Route eines Langstreckenflugs fast nie als gerade Linie, sondern als Bogen. Es sieht aus wie ein Umweg, ist aber der kürzeste Weg.

Ein Globus und eine Schnur genügen, um das zu prüfen. Befestigt man ein Ende in London und das andere in New York und spannt die Schnur, folgt sie nicht dem Breitenkreis nach Westen: Sie steigt über den Atlantik hinauf, führt nahe an Grönland vorbei und kommt wieder herunter. Genau diese Strecke fliegen die Flugzeuge. Dieser Weg heißt Großkreis; es ist die Kante, die entsteht, wenn man den Globus durch seinen Mittelpunkt in zwei Hälften schneidet. Auf der Kugel ist er die geradeste Linie, die es gibt.

Das Problem entsteht, wenn man die Kugel in eine Ebene überträgt, wie bei den meisten Karten: Die Proportionen verzerren sich. In Äquatornähe ist die flache Karte fast identisch mit der Kugel, aber je weiter man sich den Polen nähert, desto stärker wird sie gedehnt. Auf der gängigsten Karte erscheint Grönland fast so groß wie Afrika, das in Wirklichkeit etwa vierzehnmal größer ist.

Deshalb wirkt die Flugbahn, in die Ebene gezeichnet, umso gekrümmter, je weiter vom Äquator entfernt sie verläuft. London–New York zeichnet einen deutlichen Bogen, während Madrid–Buenos Aires, das den Äquator kreuzt, fast gerade aussieht.

Die Haversine-Formel berechnet aus den Koordinaten der beiden Punkte, wie lang dieser Weg ist.

Probieren Sie es aus: Ziehen Sie die Marker

Die beiden Marker unten starten in London und New York. Ziehen Sie einen davon an einen beliebigen Ort der Welt, und die Entfernung wird aktualisiert. Die blaue Linie zwischen ihnen ist der Großkreisbogen, die gespannte Schnur; die dünne graue Linie ist, was ein Lineal auf der flachen Karte ziehen würde. Schieben Sie das Paar weiter nach Norden, und die blaue Linie krümmt sich stärker; bringen Sie es zum Äquator hinunter, und die beiden Linien fallen fast zusammen.

Was die Haversine-Formel macht, in Worten

Die Haversine-Formel ist die Art, wie ein Computer die Schnur ohne Globus misst. Sie nimmt die beiden Koordinaten jedes Ortes, den Breitengrad (wie weit nördlich oder südlich des Äquators) und den Längengrad (wie weit östlich oder westlich des Greenwich-Meridians), und tut zwei Dinge:

1. Sie berechnet, wie groß das Stück des Globus ist, das die beiden Punkte trennt: den Winkel zwischen ihnen, vom Erdmittelpunkt aus gesehen. Madrid und Barcelona liegen etwa viereinhalb Grad von den 360 einer vollen Umdrehung auseinander.
2. Sie rechnet dieses Stück mit der Größe der Erde in Kilometer um. Eine volle Umrundung des Planeten sind etwa 40.000 km, also sind viereinhalb Grad etwa 500 km.

Das Raffinierte steckt in Schritt 1. Ein Längengrad ist am Äquator viel, etwa 111 km, und schrumpft an den Polen, wo alle Meridiane zusammenlaufen, auf nichts. Die Formel weiß das und korrigiert es; deshalb funktioniert sie zwischen zwei norwegischen Dörfern genauso gut wie zwischen zwei brasilianischen.

Der seltsame Name kommt von einer alten trigonometrischen Funktion, dem Haversinus, den Seeleute im 19. Jahrhundert in gedruckten Tafeln hatten, weil er genau diese Rechnung von Hand, auf einem Schiff, leicht machte. Die Computerversion ist dieselbe Idee in einem Dutzend Zeilen Code.

Rechnen Sie selbst nach

Wenn Sie sehen wollen, wie die Formel wirklich aussieht, die Rechnung New York–London Zahl für Zahl nachvollziehen, eine funktionierende JavaScript-Version kopieren und erfahren möchten, wie genau sie auf einem Planeten ist, der keine perfekte Kugel ist, öffnen Sie den Haversine-Rechner. Er hat dieselbe interaktive Karte, bei der jeder Zwischenwert der Formel beim Ziehen neu berechnet wird.

Um die Luftlinie zwischen zwei beliebigen Orten zu erhalten, zusammen mit der Straßenentfernung und der geschätzten Flugzeit, öffnen Sie den Rechner und geben Sie zwei Städte ein, oder starten Sie mit Madrid nach Barcelona.