Haversine-Rechner: die Formel Schritt für Schritt

Wenn Sie New York und London in den Rechner eingeben, ist die erste Zahl, die Sie bekommen, 5.576 km. Dafür wurde keine Straße nachgeschlagen und kein Flugplan: Es ist der kürzestmögliche Weg über die Erdoberfläche zwischen den beiden Stadtzentren, und er kommt aus einem kurzen Stück Trigonometrie namens Haversine-Formel. Dieser Artikel schreibt die Formel aus, geht genau diese Rechnung New York–London durch und lässt Sie zwei Punkte über eine Karte ziehen, um jeden Schritt live zu sehen. Wenn Sie die Idee lieber zuerst ohne Gleichungen möchten, beginnen Sie mit der Einführung in einfachen Worten.

Warum ein Lineal auf einer flachen Karte lügt

Auf einer Karte erscheint die Route eines Langstreckenflugs fast nie als gerade Linie, sondern als Bogen. Es sieht aus wie ein Umweg, ist aber der kürzeste Weg.

Ein Globus und eine Schnur genügen, um das zu prüfen. Befestigt man ein Ende in London und das andere in New York und spannt die Schnur, folgt sie nicht dem Breitenkreis nach Westen: Sie steigt über den Atlantik hinauf, führt nahe an Grönland vorbei und kommt wieder herunter. Genau diese Strecke fliegen die Flugzeuge. Dieser Weg heißt Großkreis; es ist die Kante, die entsteht, wenn man den Globus durch seinen Mittelpunkt in zwei Hälften schneidet. Auf der Kugel ist er die geradeste Linie, die es gibt. Die Linie, die der Rechner zwischen zwei Städten zeichnet, ist dieser Bogen, auf die flache Karte übertragen.

Das Problem entsteht, wenn man die Kugel in eine Ebene überträgt, wie bei den meisten Karten: Die Proportionen verzerren sich. In Äquatornähe ist die flache Karte fast identisch mit der Kugel, aber je weiter man sich den Polen nähert, desto stärker wird sie gedehnt. Auf der gängigsten Karte erscheint Grönland fast so groß wie Afrika, das in Wirklichkeit etwa vierzehnmal größer ist.

Deshalb wirkt die Flugbahn, in die Ebene gezeichnet, umso gekrümmter, je weiter vom Äquator entfernt sie verläuft. London–New York zeichnet einen deutlichen Bogen, während Madrid–Buenos Aires, das den Äquator kreuzt, fast gerade aussieht.

Um richtig zu messen, lassen wir die Karte also beiseite und rechnen auf der Kugel selbst, mit Breiten- und Längengraden. Genau das tut die Haversine-Formel.

Die Formel

Nennen wir die beiden Punkte A und B. Jeder hat einen Breitengrad φ (phi) und einen Längengrad λ (lambda), die beiden Winkel, die ihn auf dem Globus festlegen. Der Breitengrad sagt, wie weit nördlich oder südlich des Äquators; der Längengrad, wie weit östlich oder westlich des Greenwich-Meridians.

Zeile für Zeile gelesen:

• Δφ (Delta phi) ist der Breitengradunterschied zwischen A und B, Δλ (Delta lambda) der Längengradunterschied. Beide müssen im Bogenmaß stehen, nicht in Grad: Grad mit π multiplizieren und durch 180 teilen.
• a ist der „Haversinus“ des Zentriwinkels. Er verbindet den Nord-Süd-Abstand mit dem Ost-West-Abstand und gewichtet den Ost-West-Teil mit den Kosinus beider Breitengrade, weil ein Längengrad umso kürzer ist, je näher man einem Pol ist (am Äquator ist ein Längengrad etwa 111 km; bei 60° Nord nur 56 km).
• c macht aus dieser Zahl den Winkel im Bogenmaß zwischen den beiden Punkten, vom Erdmittelpunkt aus gesehen. Die Form mit atan2 ist die in der Praxis verwendete: Sie bleibt genau, selbst wenn die beiden Punkte extrem nah beieinander oder einander genau gegenüber liegen.
• d ist die Entfernung: dieser Winkel mal dem Erdradius R. Mit R in Kilometern erhält man Kilometer.

Das Wort haversine ist die Kurzform von „half the versed sine“, dem Haversinus, einer trigonometrischen Funktion, die Seeleute seit dem 19. Jahrhundert in gedruckten Tafeln hatten, weil sie genau diese Rechnung von Hand auf einem Schiff leicht machte. Die moderne Computerversion ist dieselbe Idee, mit sin² geschrieben.

New York nach London, Schritt für Schritt

Der Rechner verwendet diese Stadtzentrums-Koordinaten: New York bei Breite 40,7128°, Länge −74,0060° (West ist negativ), und London bei Breite 51,5074°, Länge −0,1278°. Mit demselben Erdradius wie der Rechner, 6378,137 km, ergibt die Formel:

Zwei Dinge fallen auf. Der Zentriwinkel beträgt etwa 50 Grad, ein Siebtel einer vollen Umdrehung; deshalb wölbt sich der Bogen zwischen New York und London auf der flachen Karte so sichtbar. Und die Längengraddifferenz (1,2894 rad, etwa 74°) zählt weit mehr als die Breitengraddifferenz (0,1884 rad, etwa 11°): Die beiden Städte liegen ungefähr auf gleicher Höhe, der größte Teil der Entfernung ist also Ost-West.

Wie genau ist sie?

Die Formel nimmt an, die Erde sei eine perfekte Kugel. Das ist sie nicht: Sie ist am Äquator ausgebeult und an den Polen abgeflacht, um etwa einen Teil in 300. Vom Mittelpunkt zum Äquator sind es 6378,1 km, zu den Polen 6356,8 km.

Das hat zwei praktische Folgen:

1. Der gewählte Radius ändert das Ergebnis. Diese Website verwendet den Äquatorradius, 6378,137 km, und erhält 5.576,5 km für New York–London. Viele Quellen nehmen stattdessen den mittleren Radius von 6371 km und erhalten 5.570,2 km. Beides ist „die“ Haversine-Entfernung; sie unterscheiden sich um etwa 0,1 %.
2. Gegenüber der wahren Form der Erde kann Haversine um bis zu etwa 0,5 % abweichen. Für New York–London sind das bis zu etwa 28 km. Für London–Sydney, etwa 17.000 km, können es 50 km oder mehr sein. Methoden wie die Vincenty-Formeln rechnen auf dem Ellipsoid und kommen auf Millimeter genau, um den Preis deutlich höheren Rechenaufwands und gelegentlicher Konvergenzprobleme bei fast antipodischen Punkten.

Für einen Entfernungsrechner oder einen Lauf-Tracker ist ein halbes Prozent Rauschen, und Haversine ist das richtige Werkzeug: eine Handvoll Operationen, keine Iterationen, keine Fehlerfälle. Vermesser und Navigationssysteme, denen es auf Zentimeter ankommt, verwenden die Ellipsoid-Methoden.