বিমান কেন বাঁকা পথে উড়ছে বলে মনে হয়?

মানচিত্রে দীর্ঘ কোনো ফ্লাইটের পথ প্রায় কখনোই সরলরেখা হিসেবে দেখা যায় না, বরং একটি বাঁক হিসেবে দেখা যায়। এটিকে ঘুরপথ মনে হয়, কিন্তু এটিই সবচেয়ে ছোট পথ।

একটি গ্লোব আর একটি সুতো দিয়েই তা যাচাই করা যায়। সুতোর এক প্রান্ত লন্ডনে আর অন্য প্রান্ত নিউ ইয়র্কে রেখে টান টান করলে সুতোটি অক্ষরেখা ধরে পশ্চিমে যায় না: আটলান্টিকের ওপর দিয়ে উঠে গ্রিনল্যান্ডের কাছ দিয়ে গিয়ে আবার নেমে আসে। বিমানগুলোও ঠিক এই পথেই যায়। এই পথকে বলে মহাবৃত্ত (গ্রেট সার্কেল), আর এটি সেই ধার যা গ্লোবকে কেন্দ্র দিয়ে দুই ভাগে কাটলে দেখা যায়। গোলকের ওপর এটিই সম্ভাব্য সবচেয়ে সোজা রেখা।

সমস্যা শুরু হয় গোলককে সমতলে আনলে, যেমনটা বেশিরভাগ মানচিত্রে হয়: অনুপাত বিকৃত হয়ে যায়। বিষুবরেখার কাছে সমতল মানচিত্র গোলকের প্রায় হুবহু, কিন্তু মেরুর দিকে যত যাওয়া যায়, তত বেশি টেনে লম্বা হয়ে যায়। সবচেয়ে প্রচলিত মানচিত্রে গ্রিনল্যান্ডকে প্রায় আফ্রিকার সমান দেখায়, অথচ আফ্রিকা আসলে তার চেয়ে প্রায় চোদ্দো গুণ বড়।

এ কারণেই সমতলে আঁকা ফ্লাইটের পথ বিষুবরেখা থেকে যত দূর দিয়ে যায়, তত বেশি বাঁকা দেখায়। লন্ডন–নিউ ইয়র্ক স্পষ্ট একটি বাঁক আঁকে, অথচ বিষুবরেখা পেরোনো মাদ্রিদ–বুয়েনোস আইরেস প্রায় সোজা দেখায়।

হ্যাভারসাইন সূত্র দুটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক থেকে এই পথের দৈর্ঘ্য হিসাব করে।

নিজে চেষ্টা করুন: মার্কার টানুন

নিচের দুটি মার্কার লন্ডন ও নিউ ইয়র্ক থেকে শুরু হয়। যেকোনো একটিকে পৃথিবীর যেকোনো জায়গায় টেনে নিন, দূরত্ব আপনাআপনি বদলে যাবে। দুটির মধ্যের নীল রেখাটি মহাবৃত্তের বাঁক, অর্থাৎ টান টান সুতো; হালকা ধূসর রেখাটি সমতল মানচিত্রে রুলার দিয়ে যা আঁকা হতো। জোড়াটিকে আরও উত্তরে নিন, নীল রেখা আরও বাঁকবে; বিষুবরেখার দিকে নামান, দুটি রেখা প্রায় মিশে যাবে।

হ্যাভারসাইন সূত্র কী করে, সহজ কথায়

হ্যাভারসাইন সূত্র হলো সেই উপায় যাতে কম্পিউটার গ্লোব ছাড়াই ওই সুতো মাপে। এটি প্রতিটি জায়গার দুটি স্থানাঙ্ক নেয়, অক্ষাংশ (বিষুবরেখা থেকে কতটা উত্তরে বা দক্ষিণে) আর দ্রাঘিমাংশ (গ্রিনিচ মধ্যরেখা থেকে কতটা পূর্বে বা পশ্চিমে), এবং দুটি কাজ করে:

1. এটি বের করে দুটি বিন্দুকে গ্লোবের কত বড় অংশ আলাদা করছে: পৃথিবীর কেন্দ্র থেকে দেখলে তাদের মধ্যের কোণ। মাদ্রিদ আর বার্সেলোনা পূর্ণ ঘূর্ণনের 360 ডিগ্রির মধ্যে প্রায় সাড়ে চার ডিগ্রি দূরে।
2. পৃথিবীর আকার ব্যবহার করে এটি সেই অংশকে কিলোমিটারে রূপান্তর করে। গ্রহটির পুরো এক পাক প্রায় 40,000 কিমি, তাই সাড়ে চার ডিগ্রি মানে প্রায় 500 কিমি।

চাতুর্যটা প্রথম ধাপে। এক ডিগ্রি দ্রাঘিমাংশ বিষুবরেখায় অনেকটা, প্রায় 111 কিমি, আর মেরুতে, যেখানে সব মধ্যরেখা মিলে যায়, সেখানে কমে শূন্য হয়ে যায়। সূত্রটি তা জানে এবং সংশোধন করে, তাই এটি নরওয়ের দুটি শহরের মধ্যে যেমন কাজ করে, ব্রাজিলের দুটি শহরের মধ্যেও তেমনই কাজ করে।

অদ্ভুত নামটি এসেছে একটি পুরোনো ত্রিকোণমিতিক ফাংশন হ্যাভারসাইন থেকে, যা উনিশ শতকে নাবিকদের ছাপানো সারণিতে থাকত, কারণ এতে জাহাজে বসে হাতে ঠিক এই হিসাবটি সহজ হয়ে যেত। কম্পিউটারের সংস্করণটি সেই একই ধারণা, এক ডজন লাইনের কোডে লেখা।

নিজেই হিসাব করুন

আসল সূত্রটি কেমন তা দেখতে, নিউ ইয়র্ক–লন্ডনের হিসাব সংখ্যা ধরে ধরে অনুসরণ করতে, একটি কার্যকর JavaScript সংস্করণ কপি করতে এবং নিখুঁত গোলক নয় এমন গ্রহে এটি কতটা সঠিক তা জানতে হ্যাভারসাইন ক্যালকুলেটর খুলুন। সেখানে একই ইন্টারঅ্যাক্টিভ মানচিত্র আছে, যেখানে টানার সময় সূত্রের প্রতিটি মধ্যবর্তী মান নতুন করে হিসাব হয়।

যেকোনো দুটি জায়গার মধ্যে সরলরৈখিক দূরত্ব, সড়কপথের দূরত্ব এবং আনুমানিক উড়ানের সময় জানতে ক্যালকুলেটর খুলুন এবং দুটি শহরের নাম লিখুন, অথবা মাদ্রিদ থেকে বার্সেলোনা দিয়ে শুরু করুন।