মার্কার A বা B মানচিত্রের যেকোনো জায়গায় টানুন। নীল রেখাটি গ্লোবের ওপর সবচেয়ে ছোট পথ, ধূসরটি সমতল মানচিত্রে সরলরেখা; সরালে দূরত্ব ও সূত্রের প্রতিটি ধাপ নতুন করে হিসাব হয়।
আপনি এখানে স্থানাঙ্ক নিজেও লিখতে পারেন।
নিউ ইয়র্ক থেকে লন্ডন ক্যালকুলেটরে খুলুনওপরের দুটি বিন্দুর জন্য সূত্র, ধাপে ধাপে
| ধাপ | সূত্র | মান |
|---|---|---|
| A-এর অক্ষাংশ রেডিয়ানে | φ₁ = lat(A) · π / 180 | ০.৭১০৫৭২ rad |
| B-এর অক্ষাংশ রেডিয়ানে | φ₂ = lat(B) · π / 180 | ০.৮৯৮৯৭৪ rad |
| অক্ষাংশের পার্থক্য | Δφ = φ₂ − φ₁ | ০.১৮৮৪০১ rad |
| দ্রাঘিমাংশের পার্থক্য | Δλ = λ₂ − λ₁ | ১.২৮৯৪১৮ rad |
| হ্যাভারসাইন পদ | a = sin²(Δφ/2) + cos φ₁ · cos φ₂ · sin²(Δλ/2) | ০.১৭৯২৩৬৪৩ |
| কেন্দ্রীয় কোণ | c = 2 · atan2(√a, √(1 − a)) | ০.৮৭৪৩০৯ rad |
| দূরত্ব | d = R · c (R = ৬,৩৭৮.১৩৭ কিমি) | ৫,৫৭৬.৫ কিমি |
ক্যালকুলেটরে নিউ ইয়র্ক আর লন্ডন লিখলে প্রথম যে সংখ্যাটি আসে তা হলো 5,576 কিমি। এর জন্য কোনো সড়ক দেখা হয়নি, কোনো ফ্লাইটের সময়সূচিও না: এটি দুই শহরের কেন্দ্রের মধ্যে পৃথিবীর পৃষ্ঠে সম্ভাব্য সবচেয়ে ছোট পথ, আর এটি আসে ত্রিকোণমিতির একটি ছোট্ট অংশ থেকে, যার নাম হ্যাভারসাইন সূত্র। এই নিবন্ধে সূত্রটি পুরো লেখা আছে, নিউ ইয়র্ক–লন্ডনের ঠিক এই হিসাবটি ধাপে ধাপে করা আছে, আর মানচিত্রে দুটি বিন্দু টেনে প্রতিটি ধাপ সরাসরি বদলাতে দেখা যায়। সমীকরণ ছাড়া আগে ধারণাটি বুঝতে চাইলে সহজ কথায় লেখা ভূমিকা দিয়ে শুরু করুন।
সমতল মানচিত্রে রুলার কেন মিথ্যা বলে
মানচিত্রে দীর্ঘ কোনো ফ্লাইটের পথ প্রায় কখনোই সরলরেখা হিসেবে দেখা যায় না, বরং একটি বাঁক হিসেবে দেখা যায়। এটিকে ঘুরপথ মনে হয়, কিন্তু এটিই সবচেয়ে ছোট পথ।
একটি গ্লোব আর একটি সুতো দিয়েই তা যাচাই করা যায়। সুতোর এক প্রান্ত লন্ডনে আর অন্য প্রান্ত নিউ ইয়র্কে রেখে টান টান করলে সুতোটি অক্ষরেখা ধরে পশ্চিমে যায় না: আটলান্টিকের ওপর দিয়ে উঠে গ্রিনল্যান্ডের কাছ দিয়ে গিয়ে আবার নেমে আসে। বিমানগুলোও ঠিক এই পথেই যায়। এই পথকে বলে মহাবৃত্ত (গ্রেট সার্কেল), আর এটি সেই ধার যা গ্লোবকে কেন্দ্র দিয়ে দুই ভাগে কাটলে দেখা যায়। গোলকের ওপর এটিই সম্ভাব্য সবচেয়ে সোজা রেখা। ক্যালকুলেটর দুটি শহরের মধ্যে যে রেখা আঁকে, সেটি সমতল মানচিত্রে আঁকা এই বাঁকটিই।
সমস্যা শুরু হয় গোলককে সমতলে আনলে, যেমনটা বেশিরভাগ মানচিত্রে হয়: অনুপাত বিকৃত হয়ে যায়। বিষুবরেখার কাছে সমতল মানচিত্র গোলকের প্রায় হুবহু, কিন্তু মেরুর দিকে যত যাওয়া যায়, তত বেশি টেনে লম্বা হয়ে যায়। সবচেয়ে প্রচলিত মানচিত্রে গ্রিনল্যান্ডকে প্রায় আফ্রিকার সমান দেখায়, অথচ আফ্রিকা আসলে তার চেয়ে প্রায় চোদ্দো গুণ বড়।
এ কারণেই সমতলে আঁকা ফ্লাইটের পথ বিষুবরেখা থেকে যত দূর দিয়ে যায়, তত বেশি বাঁকা দেখায়। লন্ডন–নিউ ইয়র্ক স্পষ্ট একটি বাঁক আঁকে, অথচ বিষুবরেখা পেরোনো মাদ্রিদ–বুয়েনোস আইরেস প্রায় সোজা দেখায়।
তাই ঠিকভাবে মাপতে আমরা মানচিত্র সরিয়ে রেখে সরাসরি গোলকের ওপর, অক্ষাংশ ও দ্রাঘিমাংশ দিয়ে কাজ করি। হ্যাভারসাইন সূত্র ঠিক এটিই করে।
সূত্র
দুটি বিন্দুকে A ও B বলি। প্রতিটির একটি অক্ষাংশ φ (ফাই) আর একটি দ্রাঘিমাংশ λ (ল্যাম্বডা) আছে, অর্থাৎ যে দুটি কোণ গ্লোবে তার অবস্থান ঠিক করে। অক্ষাংশ বলে বিষুবরেখা থেকে কতটা উত্তরে বা দক্ষিণে; দ্রাঘিমাংশ, গ্রিনিচ মধ্যরেখা থেকে কতটা পূর্বে বা পশ্চিমে।
লাইন ধরে ধরে পড়লে:
- Δφ (ডেল্টা ফাই) হলো A ও B-এর অক্ষাংশের পার্থক্য, আর Δλ (ডেল্টা ল্যাম্বডা) দ্রাঘিমাংশের পার্থক্য। দুটিই রেডিয়ানে থাকতে হবে, ডিগ্রিতে নয়: ডিগ্রিকে π দিয়ে গুণ করে 180 দিয়ে ভাগ করুন।
- a হলো কেন্দ্রীয় কোণের "হ্যাভারসাইন"। এটি উত্তর–দক্ষিণ ব্যবধান আর পূর্ব–পশ্চিম ব্যবধানকে মেশায়, পূর্ব–পশ্চিম অংশকে দুই অক্ষাংশের কোসাইন দিয়ে মাপে, কারণ মেরুর যত কাছে, এক ডিগ্রি দ্রাঘিমাংশ তত ছোট (বিষুবরেখায় এক ডিগ্রি দ্রাঘিমাংশ প্রায় 111 কিমি; 60° উত্তরে মাত্র 56 কিমি)।
- c সেই সংখ্যাকে পৃথিবীর কেন্দ্র থেকে দেখা দুই বিন্দুর মধ্যের কোণে, রেডিয়ানে, রূপান্তর করে। বাস্তবে
atan2রূপটিই ব্যবহার হয়: দুটি বিন্দু অত্যন্ত কাছে বা ঠিক বিপরীতে থাকলেও এটি নির্ভুল থাকে। - d হলো দূরত্ব: সেই কোণ গুণ পৃথিবীর ব্যাসার্ধ R। R কিলোমিটারে হলে ফল কিলোমিটারে আসে।
হ্যাভারসাইন শব্দটি "half the versed sine"-এর সংক্ষেপ, একটি ত্রিকোণমিতিক ফাংশন যা উনিশ শতক থেকে নাবিকদের ছাপানো সারণিতে থাকত, কারণ এতে জাহাজে হাতে ঠিক এই হিসাবটি সহজ হয়ে যেত। আধুনিক কম্পিউটার সংস্করণটি সেই একই ধারণা, sin² দিয়ে লেখা।
নিউ ইয়র্ক থেকে লন্ডন, ধাপে ধাপে
ক্যালকুলেটর শহরের কেন্দ্রের এই স্থানাঙ্কগুলো ব্যবহার করে: নিউ ইয়র্ক অক্ষাংশ 40.7128°, দ্রাঘিমাংশ −74.0060° (পশ্চিম ঋণাত্মক), আর লন্ডন অক্ষাংশ 51.5074°, দ্রাঘিমাংশ −0.1278°। ক্যালকুলেটরের মতোই পৃথিবীর ব্যাসার্ধ 6378.137 কিমি ধরে সূত্রটি চালালে:
| ধাপ | সূত্র | মান |
|---|---|---|
| নিউ ইয়র্কের অক্ষাংশ রেডিয়ানে | φ₁ = 40.7128 · π / 180 | 0.710572 rad |
| লন্ডনের অক্ষাংশ রেডিয়ানে | φ₂ = 51.5074 · π / 180 | 0.898974 rad |
| অক্ষাংশের পার্থক্য | Δφ = φ₂ − φ₁ | 0.188401 rad |
| দ্রাঘিমাংশের পার্থক্য | Δλ = (−0.1278 − (−74.0060)) · π / 180 | 1.289418 rad |
| হ্যাভারসাইন পদ | a = sin²(Δφ/2) + cos φ₁ · cos φ₂ · sin²(Δλ/2) | 0.17923643 |
| কেন্দ্রীয় কোণ | c = 2 · atan2(√a, √(1 − a)) | 0.874309 rad |
| দূরত্ব | d = 6378.137 কিমি · c | 5,576.5 কিমি |
দুটি বিষয় লক্ষ করার মতো। কেন্দ্রীয় কোণটি প্রায় 50 ডিগ্রি, পূর্ণ ঘূর্ণনের এক-সপ্তমাংশ, তাই নিউ ইয়র্ক ও লন্ডনের মধ্যের বাঁকটি সমতল মানচিত্রে এত স্পষ্টভাবে বাঁকা দেখায়। আর দ্রাঘিমাংশের পার্থক্য (1.2894 rad, প্রায় 74°) অক্ষাংশের পার্থক্যের (0.1884 rad, প্রায় 11°) চেয়ে অনেক বেশি গুরুত্বপূর্ণ: দুটি শহর মোটামুটি একই উচ্চতায়, তাই দূরত্বের বেশিরভাগই পূর্ব–পশ্চিম।
এটি কতটা নির্ভুল?
সূত্রটি ধরে নেয় পৃথিবী একটি নিখুঁত গোলক। তা নয়: এটি বিষুবরেখায় স্ফীত আর মেরুতে চাপা, প্রায় 300 ভাগের 1 ভাগ। কেন্দ্র থেকে বিষুবরেখার দূরত্ব 6378.1 কিমি, মেরুর 6356.8 কিমি।
এর দুটি ব্যবহারিক ফল আছে:
- যে ব্যাসার্ধ বেছে নেবেন, উত্তর তাতে বদলায়। এই সাইট বিষুবীয় ব্যাসার্ধ 6378.137 কিমি ব্যবহার করে এবং নিউ ইয়র্ক–লন্ডনের জন্য 5,576.5 কিমি পায়। অনেক তথ্যসূত্র বদলে 6371 কিমি গড় ব্যাসার্ধ নেয় এবং 5,570.2 কিমি পায়। দুটিই "হ্যাভারসাইন দূরত্ব"; পার্থক্য প্রায় 0.1 %।
- পৃথিবীর আসল আকৃতির তুলনায় হ্যাভারসাইন প্রায় 0.5 % পর্যন্ত ভুল করতে পারে। নিউ ইয়র্ক–লন্ডনের জন্য তা প্রায় 28 কিমি পর্যন্ত। লন্ডন–সিডনি, প্রায় 17,000 কিমি, এর জন্য 50 কিমি বা তার বেশি হতে পারে। ভিনসেন্টির সূত্রের মতো পদ্ধতিগুলো উপবৃত্তাভের ওপর কাজ করে এবং মিলিমিটার পর্যন্ত পৌঁছায়, তবে হিসাবে অনেক ভারী এবং প্রায় প্রতিপাদ বিন্দুর ক্ষেত্রে মাঝে মাঝে সমাধানে পৌঁছায় না।
দূরত্বের ক্যালকুলেটর বা দৌড়ের ট্র্যাকারের জন্য আধা শতাংশ নগণ্য, আর হ্যাভারসাইনই ঠিক হাতিয়ার: গুটিকয় হিসাব, কোনো পুনরাবৃত্তি নেই, ব্যর্থতার কোনো ঘটনা নেই। যেসব জরিপকারী ও নেভিগেশন ব্যবস্থার কাছে সেন্টিমিটার গুরুত্বপূর্ণ, তারা উপবৃত্তাভ পদ্ধতি ব্যবহার করে।