Num mapa, a rota de um voo longo quase nunca aparece como uma linha reta, e sim como um arco. Parece um desvio, mas é o caminho mais curto.
Um globo terrestre e um barbante bastam para comprovar. Se uma ponta é fixada em Londres e a outra em Nova York e o barbante é esticado, ele não segue o paralelo para o oeste: sobe sobre o Atlântico, passa perto da Groenlândia e volta a descer. É o mesmo trajeto que os aviões fazem. Esse caminho se chama círculo máximo, e é a borda que aparece ao cortar o globo ao meio pelo centro. Sobre a esfera é a linha mais reta possível.
O problema aparece ao passar a esfera para um plano, como na maioria dos mapas: as proporções se distorcem. Perto do equador o mapa plano é quase idêntico à esfera, mas quanto mais se afasta em direção aos polos, mais ele se estica. No mapa mais comum, a Groenlândia aparece quase do tamanho da África, que na verdade é cerca de catorze vezes maior.
Por isso a trajetória de um voo, desenhada no plano, parece mais curva quanto mais longe do equador ela passa. Londres–Nova York desenha um arco marcado, enquanto Madri–Buenos Aires, que cruza o equador, parece quase reta.
A fórmula de Haversine (ou do semiverseno) calcula quanto mede esse caminho a partir das coordenadas dos dois pontos.
Experimente: arraste os marcadores
Os dois marcadores abaixo começam em Londres e Nova York. Arraste qualquer um deles para qualquer lugar do mundo e a distância se atualiza. A linha azul entre eles é o arco de círculo máximo, o barbante esticado; a linha cinza fina é o que uma régua traçaria sobre o mapa plano. Leve o par mais para o norte e a azul se arqueia mais; desça-o em direção ao equador e as duas linhas quase se fundem.
Arraste o marcador A ou B para qualquer ponto do mapa. A linha azul é o caminho mais curto sobre o globo; a cinza, a reta sobre o mapa plano. A distância é recalculada ao movê-los.
Você também pode digitar as coordenadas aqui.
Abrir Londres a Nova York na calculadoraO que a fórmula de Haversine faz, em palavras
A fórmula de Haversine é a forma como um computador mede o barbante sem ter um globo. Ela pega as duas coordenadas de cada lugar, a latitude (quanto ao norte ou ao sul do equador) e a longitude (quanto a leste ou a oeste do meridiano de Greenwich), e faz duas coisas:
- Calcula o tamanho da fatia do globo que separa os dois pontos: o ângulo entre eles visto do centro da Terra. Madri e Barcelona estão a cerca de quatro graus e meio dos 360 de uma volta completa.
- Converte essa fatia em quilômetros usando o tamanho da Terra. Uma volta completa no planeta tem cerca de 40.000 km, então quatro graus e meio são cerca de 500 km.
O engenhoso está no passo 1. Um grau de longitude é muito no equador, cerca de 111 km, e encolhe até nada nos polos, onde todos os meridianos se juntam. A fórmula sabe disso e corrige, e por isso funciona igualmente bem entre duas cidades da Noruega e entre duas do Brasil.
O nome estranho vem de uma função trigonométrica antiga, o haversine ou semiverseno, que os navegadores tinham em tabelas impressas no século XIX porque tornava fácil justamente este cálculo à mão, num navio. A versão para computadores é a mesma ideia escrita em uma dúzia de linhas de código.
Calcule você mesmo
Se quiser ver como é a fórmula de verdade, seguir o cálculo Nova York–Londres número por número, copiar uma versão em JavaScript que funciona e saber quão precisa ela é num planeta que não é uma esfera perfeita, abra a calculadora Haversine. Ela tem o mesmo mapa interativo, com cada valor intermediário da fórmula recalculado enquanto você arrasta.
Para obter a distância em linha reta entre dois lugares quaisquer, junto com a distância por estrada e o tempo de voo estimado, abra a calculadora e digite duas cidades, ou comece por Madri a Barcelona.